Probability
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1 प्रायिकता: परिभाषा और नियम
अनिश्चित घटनाओं (event) के होने की संभावना की माप प्रायिकता (probability) है। प्रयोग (experiment) के सभी संभावित परिणामों (outcome) का समुच्चय प्रतिदर्श-समष्टि (sample space) कहलाता है।
- सैद्धांतिक प्रायिकता (theoretical probability):
। - सीमा: ; असंभव घटना (impossible event) की प्रायिकता और निश्चित घटना (certain event) की ।
- पूरक घटना (complementary event): ; हो तो ।
- प्रतिदर्श-समष्टि का आकार: एक सिक्के के , दो सिक्कों के , तीन सिक्कों के परिणाम; एक पासे के , दो पासों के ।
- प्रयोगात्मक प्रायिकता (experimental probability): ; बहुत अधिक बार दोहराने पर यह सैद्धांतिक के निकट आती है।
- अपेक्षित संख्या (expected number): सिक्का बार उछालने पर चित (heads) की अपेक्षित संख्या ।
याद रखें
प्रायिकता (probability) को भिन्न, दशमलव या प्रतिशत, किसी भी रूप में लिखा जा सकता है, पर वह से बड़ी या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
2 सिक्के, पासे, ताश और थैले
अधिकांश प्रश्न सिक्का, पासा (die), ताश की गड्डी (pack of cards) या रंगीन गेंदों वाले थैले पर आधारित होते हैं। सबसे पहले कुल परिणाम (outcome) गिनें, फिर अनुकूल परिणाम (favourable outcomes)।
| स्थिति | प्रायिकता |
|---|---|
| सिक्का: चित (heads) | |
| पासा (die): संख्या | |
| ताश (52): राजा | |
| ताश: लाल मुखाकृति पत्ता (face card) | |
| थैला (3 लाल, 5 नीली): लाल | |
| दो सिक्के: कम से कम एक चित | |
| दो पासे: योग | |
| दो पासे: योग | |
| तीन सिक्के: तीनों चित |
- से में अभाज्य (prime) नहीं: अभाज्य ; अतः ।
- MATHEMATICS के अक्षरों में स्वर (vowel) हैं; ।
- बराबर खंडों वाली चकरी (spinner) पर का गुणज हैं; ।
भ्रम से बचें
जुआरी की भ्रांति (gambler's fallacy): लगातार पाँच चित (heads) आने के बाद अगली उछाल में चित या पट (tails) की प्रायिकता (probability) फिर भी रहती है।
3 शिक्षण-रणनीति और सामान्य त्रुटियाँ
प्रायिकता (probability) को सिक्का उछालने, पासा (die) फेंकने और परिणाम (outcome) दर्ज करने जैसे प्रयोगों (experiment) से शुरू करना बच्चों में संभावना की सहज समझ बनाता है।
- प्रयोग: सिक्के को बार उछालकर तालिका बनाना, फिर पूरी कक्षा के आँकड़े जोड़ना।
- त्रुटि: सभी परिणामों को समप्रायिक मान लेना।
- त्रुटि: प्रायिकता को से अधिक लिख देना।
- त्रुटि: दो पासों के योग के परिणाम गलत गिनना।
- खेल: रंगीन गेंदों के थैले से भविष्यवाणी का खेल।
NEP 2020 / NCF-SE 2023 संदर्भ
NCF-SE 2023 अनिश्चितता और आँकड़ों से तर्क करने की क्षमता को महत्त्व देता है। यहाँ अनुच्छेद-संख्या का दावा नहीं है।
4 Quick Revision — एक नज़र में
परीक्षा से ठीक पहले पूरे टॉपिक को दोहराने के लिए यह भाग है। इसमें सबसे ज़रूरी बातें एक ही जगह दी गई हैं।
5 MCQ Practice (20 प्रश्न)
अब तक जो पढ़ा, उसे परखने के लिए नीचे 20 प्रश्न हैं। ये प्रश्न CTET के कठिन स्तर के हैं, इसलिए जल्दबाज़ी न करें। किसी विकल्प पर क्लिक करते ही सही उत्तर और उसकी व्याख्या दिख जाएगी।
Q1. एक सिक्का उछालने पर चित (heads) आने की प्रायिकता (probability) क्या है?
Q2. एक पासा (die) फेंकने पर से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
Q3. पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर राजा आने की प्रायिकता क्या है?
Q4. ताश की गड्डी (pack of cards) से एक पत्ता निकालने पर लाल मुखाकृति (face) पत्ता आने की प्रायिकता क्या है?
Q5. थैले में लाल और नीली गेंदें हैं। एक गेंद निकालने पर लाल होने की प्रायिकता क्या है?
Q6. किसी घटना (event) की प्रायिकता है। उसके न होने की प्रायिकता क्या है?
Q7. दो सिक्के एक साथ उछालने पर कम से कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?
Q8. दो पासे एक साथ फेंकने पर योग आने की प्रायिकता क्या है?
Q9. दो पासे एक साथ फेंकने पर योग आने की प्रायिकता क्या है?
Q10. बराबर खंडों वाली चकरी (spinner) पर से तक संख्याएँ हैं। का गुणज आने की प्रायिकता क्या है?
Q11. से तक की संख्याओं में से एक चुनने पर वह अभाज्य (prime) न होने की प्रायिकता क्या है?
Q12. सिक्के को बार उछालने पर चित की अपेक्षित संख्या (expected number) कितनी है?
Q13. MATHEMATICS शब्द के अक्षरों में से एक अक्षर चुनने पर उसके स्वर (vowel) होने की प्रायिकता क्या है?
Q14. प्रायिकता का मान किस सीमा में होता है?
Q15. सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक प्रायिकता (experimental probability) का संबंध क्या है?
Q16. तीन सिक्के एक साथ उछालने पर तीनों में चित आने की प्रायिकता क्या है?
Q17. तीन सिक्के एक साथ उछालने पर कुल कितने परिणाम (outcome) संभव हैं?
Q18. प्रायिकता सिखाने की सर्वोत्तम शुरुआत कौन-सी है?
Q19. लगातार पाँच बार चित आने के बाद अगली उछाल में चित की प्रायिकता कितनी रहेगी?
Q20. एक पासे के प्रतिदर्श-समष्टि (sample space) में कुल कितने परिणाम होते हैं?
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